问一道微分方程的问题(1/根号下（y^2-1))dy=±dx这是一个变量分离的方程,两端求积分,并代入初始条件y（1）=1,y'（1）=0则无论右端取正号,还是取负号,其结果均为y=(e^(x-1)+e^(1-x))/2如何计算出这

Question

问一道微分方程的问题
(1/根号下（y^2-1))dy=±dx
这是一个变量分离的方程,两端求积分,并代入初始条件
y（1）=1,y'（1）=0
则无论右端取正号,还是取负号,其结果均为
y= (e^(x-1)+e^(1-x))/2
如何计算出这个结果 ：y= (e^(x-1)+e^(1-x))/2
请写出具体步骤.

Answer 1

你提供的答案是错的.
对(1/根号下（y^2-1))dy积分,得：arcsiny+C1
当右边是正号时,右边积分得x+C2,所以arcsiny=x+C,即y=sin(x+C),所以
y'=cos(x+c),所以y(1)=sin(C+1)=1,y'(1)=cos(C+1)=0,所以C+1=2k*pi+pi/2 (k属于整数）,即y=sin[x+2k*pi+(pi/2)-1]=cos(x-1)
当右边是负号时同上得：y=cos(1-x)=cos(x-1)
综上,方程的解为y=cos(x-1),x属于实数.