找辅助函数证明等式设b>a>0,f(x)在[a,b]上连续,单调递增,且f(x)>0证明存在ξ属于(a,b)使a^2f(b)+b^2f(a)=2ξ^2f(ξ)

Question

找辅助函数证明等式
设b>a>0,f(x)在[a,b]上连续,单调递增,且f(x)>0证明存在ξ属于(a,b)使
a^2f(b)+b^2f(a)=2ξ^2f(ξ)

Answer 1

证明：已知：b>a>0,函数f(x)在[a,b]上连续,单调递增,且f(x)>0 则：
f(b)>f(a)>0
构建新的函数F(x)=2x^2f(x) 明显有 F(x)也在[a,b]上连续,单调递增,且F(x)>0.
F(a)=2a^2*f(a)a^2*f(b)+b^2*f(a)
所以：F(a)