关于复合函数1.f(x)=x,f(x+1)=x+1,y=x+1这三个函数有什么区别,我认为第一个和第二个本质上一样,和第三个不一样对不对呢?2.高一在学复合函数时说的f(g(x))怎么怎么样的,例如说定义域之类的,是不

Question

关于复合函数
1.f(x)=x,f(x+1)=x+1,y=x+1这三个函数有什么区别,我认为第一个和第二个本质上一样,和第三个不一样对不对呢?
2.高一在学复合函数时说的f(g(x))怎么怎么样的,例如说定义域之类的,是不是指的是y=f(g(x))呢?我现在就分不清这些个函数,到底有什么区别呢?

Answer 1

1.我们可以把f()想象成一个魔法符号.它可以把括号里面的东西,经过一定的规则,变成另一样东西（也就是等号右边的东西）.
不同的魔法符号可以有不同的变化规则,所以就可以把一样的东西变出不同的结果.
我们把这个魔法符号叫做函数.
恩,举个例子：
f(一块钱) = 两张一块钱
这里面f()的作用呢,就是把一块钱,变成了两块钱.
那么f(一美元)呢?自然等于两张一美元了.
所以,只要你给出了f()的规则,你给它什么,它就变什么.
现在我们来看f(x) = x.
这个函数看起来好像没什么魔力,x经过它之后,还是x.
那x+1呢?自然变完也是x+1了.
所以我们可以说,f(x)=x和f(x+1)=x+1,它俩没什么两样.
至于y = x + 1,你一看,这个y连个括号都没有,根本就不是函数.它跑到这里装函数来了.装什么函数啊,迷惑我们?你可以把它划出去了,这个充其量算做一个等式.
2.也许你看上面那些文字觉得幼稚.但是接下来才是我要说的重点.
(a) 定义域
魔法符号也不是什么都能变.有些东西它可能也变不了.比如我们刚开始举的那个一块钱的例子：
f(一群羊) =
两群羊?还是一群羊?f()也不知道.这时f()会告诉你,它不灵了,它变不出来.
但是我们的数学可不会这么直截了当的告诉你.它会这么跟你说：“一群羊”不在我的定义域里!
那么好了,定义域,就是它能变的所有东西的集合.或者说,只有我们给f()定义域之内的东西,它才能给我们变.
(b) 值域
当然了,魔法符号不是什么都能变,它自然也不是什么都能变出来.
还是刚才那个钱的例子.我现在告诉f(),说你给我变个“半张一块钱”出来.
f()傻了,这怎么变啊!它会告诉你,变不出来.
但是!我们的数学可不会这么直截了当的告诉你.它会这么跟你说：“半张一块钱”不在我的值域里.
所以说,值域,就是它能够变出来的东西的集合.所有不在值域里的东西们,对不起,f()变不出来.
(c) 复合函数是什么东西呢?
复合函数就是某一样东西,连着被用了两次魔法.比如这个f(g(x)),就是x先被g()施法一次,紧接着又被f()施法一次.
不要死盯住f的小括号.把f(g())看做是一个整体的大魔法.就好像,你刚才还看见了x,你一眨眼的功夫,g和f施法都结束了.不要管这是多少个魔法搞定的,反正不管三七二十一,总之x是被施法了.是什么魔法呢?就叫它f(g()).
照这么说,f(g())的定义域是啥呢?就是f(g())能变的所有东西的集合啊.很简单吧.
而f(g())的值域,自然也就是f(g())能变出来的东西的集合了.
不知道这样解释,你能不能看明白.
当然,如果你看明白了,还是要回头去看看数学教科书上是怎么写的.毕竟考试你可不能写这个.