一个多面体如图所示，四边形ABCD是边长为2的正方形，AB=FB，FB⊥平面ABCD，ED∥FB，且ED=1．（1）求证：平面ACE⊥平面ACF．（2）求多面体AED-BCF的体积．

Question

一个多面体如图所示，四边形ABCD是边长为2的正方形，AB=FB，FB⊥平面ABCD，ED∥FB，且ED=1．
（1）求证：平面ACE⊥平面ACF．
（2）求多面体AED-BCF的体积．

Answer 1

（1）证明：连接BD，AC与BD交于点O，连接OE，OF．
∵四边形ABCD是四边形ABCD是正方形，FB⊥平面ABCD，ED∥FB
∴DE⊥平面ABCD，AE=CE，OE⊥AC  ①
又∵DE=1，CD=2，
则OE=√(3)，OF=√(6)，EF=3
∴OE²+OF²=EF²，则OE⊥OF ②
由①，②得，OE⊥平面ACF，
∴平面ACF⊥ACE；
（2） 由（1）可知，三棱锥E-ACD，三棱锥F-ABC的高分别是DE，BF．且AC⊥平面BDEF，
故多面体ADE-BCF的体积V=VE-ACD+VF-ABC+

V

E-ACF

而VE-ACD=(2)/(3)，VF-ABC=(4)/(3)，

V

E-ACF

=2
∴多面体ADE-BCF的体积V=4．