如图所示，连结棱长为2cm的正方体各面的中心得一个多面体容器，从顶点A处向该容器内注水，注满为止．已知顶点B到水面的高度h以每秒1cm匀速上升，记该容器内水的体积V（cm3）与时间T（S

Question

如图所示，连结棱长为2cm的正方体各面的中心得一个多面体容器，从顶点A处向该容器内注水，注满为止．已知顶点B到水面的高度h以每秒1cm匀速上升，记该容器内水的体积V（cm³）与时间T（S）的函数关系是V（t），则函数V（t）的导函数y=V′（t）的图象大致是（　　）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

方法一，正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体，棱长为a=(1)/(2)√(22+22)=√(2)，高为2，
设时间为t时，当t≤1时，此时水面的边长为b，(t)/(1)＝(b)/(√(2))，则b=√(2)t，则水面的面积为b²=2t²，该容器内水的体积V（t）=(1)/(3)×2t²×t=(2)/(3)t³，
当t＞1时，此时水面的边长为c，(2−t)/(1)＝(c)/(√(2))，则c=√(2)（2-t），则水面的面积为c²=2（2-t）²，
该容器内水的体积V（t）=(1)/(3)×（√(2)）²×2-(1)/(3)×2×（2-t）²×（2-t）=(4)/(3)-(2)/(3)×（2-t）³，
∴y=V′（t）=2t²，（t≤1），y=V′（t）=2（2-t）²，（1＜t≤2），
方法二，由题意得：V（cm³）与时间T（S）的函数关系是V（t），y=tv（t）是关于t的3次函数，
则y=v′（t）是关于t的2次函数，
故选：D．