一道数学题.试判断命题A:“在三角形ABC中,BC^2=AC^2+AB^2"与命题B:"三角形ABC是直角三角形"是否为等价三角形,并说明理由.

Question

一道数学题.
试判断命题A:“在三角形ABC中,BC^2=AC^2+AB^2"与命题B:"三角形ABC是直角三角形"是否为等价三角形,并说明理由.

Answer 1

勾股定理的证明方法
山东 马永庆
【证法1】（传说中毕达哥拉斯的证明）
图1 图2
如图所示,作8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b,所以面积相等.即
,整理得 .
【证法2】（邹元治证明）
以a、b 为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于 .把这四个直角三角形拼成如图2所示形状,使A、E、B三点在一条直线上,B、F、C三点在一条直线上,C、G、D三点在一条直线上.四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.四边形ABCD是一个边长为a + b的正方形,它的面积等于 .
∴ .∴ .
【证法3】（赵爽证明）
以a、b 为直角边（b>a）,以c为斜边作四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于 .把这四个直角三角形拼成如图所示形状.ABCD是一个边长为c的正方形,它的面积等于c2.EFGH是一个边长为b―a的正方形,它的面积等于 .
∴ .
∴ .
图3 图4
【证法4】（Garfield证明）
以a、b 为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于 .把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上.则 ΔDEC是一个等腰直角三角形,它的面积等于 .ABCD是一个直角梯形,它的面积等于 .
∴ ∴ .
【证法5】（马永庆证明方法1）
对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°得图5,该图是旋转90°得到的,所以∠BAE=90°,且四边形ACFD是一个正方形,它的面积和四边形ABFE面积相等,而四边形ABFE面积等于Rt⊿BAE和Rt⊿BFE的面积之和,所以：
S正方形ACFD=S⊿BAE+S⊿BFE
即：.
整理：
∴a2+b2=c2.
图5 图6
【证法6】（马永庆证明方法2）
对任意的符合条件的两个全等的Rt⊿BEA和Rt⊿ACD拼成图6(此图也可以看成Rt⊿BEA绕其直角顶点顺时针旋转90°,再向下平移得到).一方面,四边形ABCD的面积等于⊿ABC和Rt⊿ACD的面积之和,另一方面,四边形ABCD的面积等于Rt⊿ABD和⊿BCD的面积之和,所以：S⊿ABC+S⊿ACD=S⊿ABD+S⊿BCD
即：.
整理：
∴a2+b2=c2.