在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，D为棱BB1中点．（Ⅰ）求证：面DA1C⊥面AA1C1C；（Ⅱ）设AB=BC=AA1=2，求B1到平面A1DC的距离．

Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，D为
棱BB₁中点．
（Ⅰ）求证：面DA₁C⊥面AA₁C₁ C；
（Ⅱ）设AB=BC=AA₁=2，求B₁到平面A₁DC的距离．

Answer 1

（Ⅰ）证明：设E是A₁C的中点，F是AC的中点，
连结DE，BF，EF，
则EF

∥

.

(1)/(2)AA₁，
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等腰直角三角形，
∠ABC=90°，D为棱BB₁中点，
∴DB

∥

.

(1)/(2)AA1，∴EF

∥

.

DB，∴DE∥BF，
∵BF⊥平面A₁C₁AC，∴DE⊥平面A₁C₁AC，
∵DE⊂平面DA₁C，∴面DA₁C⊥面AA₁C₁C．
（Ⅱ）设B₁到平面A₁DC的距离为h．
∵VB1−A1DC＝VC−A1B1D，AB=BC=AA₁=2，
∴VC−A1B1D＝(1)/(3)S△A1B1D•BC=(2)/(3)，
VB1−A1DC=(1)/(3)S△A1DC•h=(2)/(3)，
S△A1DC=(1)/(2)A1C•DE=√(6)，
∴(1)/(3)S△A1DC•h=(2)/(3)，解得h=

作业帮用户 2017-10-10

问题解析

（Ⅰ）由已知条件推导出EF

∥

.

DB，DE∥BF，从而得到DE⊥平面A₁C₁AC，由此能够证明面DA₁C⊥面AA₁C₁C．
（Ⅱ）设B₁到平面A₁DC的距离为h．由VB1−A1DC＝VC−A1B1D，利用等积法能求出B₁到平面A₁DC的距离．

名师点评

本题考点：

点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定．

考点点评：

本题考查平面垂直于平面的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意等积法的合理运用．

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