直线的法向量不唯一比如-3x-4y+12=0有个法向量(-3,-4)那么还有哪些呢?这是怎么看的?还有方向向量,这条直线有个方向向量(4,-3)那还有哪些呢?该怎么判别?我要方法~谢谢高手们啦~~

Question

直线的法向量不唯一
比如 -3x-4y+12=0
有个法向量(-3,-4)
那么还有哪些呢?
这是怎么看的?

还有方向向量,这条直线有个方向向量(4,-3)
那还有哪些呢?该怎么判别?

我要方法~谢谢高手们啦~~

Answer 1

（1）每条直线都有无数条方向向量
设有直线L
如果其斜率不存在,则所有的向量a=(0,m)都是其方向向量
如果斜率存在,设直线方程y=kx+b,任意取两点A(x1,kx1+b)B(x2,kx2+b)
其方向向量a=向量AB=（x1-x2,k(x1-x2)）=(x1-x2)(1,k),
即所有与向量(1,k)共线的向量m(1,k)(m不等于0)都是直线的方向向量.
(2)每条直线的法向量有无数条,
如果其斜率不存在,则所有的向量a=(m,0)为其法向量
若果斜率存在,设直线方程y=kx+b,有上面可知其方向向量为a=m(1,k)
那么所有与m(1,k)垂直的向量都是其法向量.
由此,设其法向量v=(m,n)
va=m+nk=0,
解之：m=-nk,
v=(-nk,n)=n(-k,1)
故所有与向量（-k,1）贡献的向量都是其法向量.
解毕.