把地球看作半径为R的球，设A、B两地纬度相同，都是α度，它们的经度相差β度（0＜β≤180°），求A、B两地之间的球面距离．

Question

把地球看作半径为R的球，设A、B两地纬度相同，都是α度，它们的经度相差β度（0＜β≤180°），求A、B两地之间的球面距离．

Answer 1

A、B两地之间的球面距离为过A、B所作之大圆的圆弧AB的长，
设其长为L，且设∠AOB=θ
过A、B作平面O₁AB⊥NS（极轴），
此平面与球面交成圆O₁．
设其半径为r，由已知，∠AO₁B=β．
设C、D分别为赤道平面上与点A、B同经度之两点，
则由已知，∠AOC=∠BOD=α．
在过A、B的大圆上有L＝(πRθ)/(180)
由此可知，只需求出θ即可．
在圆O₁中，线段AB=2rsin(β)/(2)，
又在过A、C的大圆中，因为∠OO₁A=90°，
∠OAO₁=α，所以r=Rcosα
代入上式，可得线段AB=2Rcosαsin(β)/(2)．
在△AOB中，线段AB=2Rsin(θ)/(2)，
于是可得2Rsin(θ)/(2)=2Rcosαsin(β)/(2)，
所以θ＝2arcsin(cosαsin(β)/(2))．
由此可得A、B两地之间的球面距离为L＝(2πR)/(180)arcsin(cosαsin(β)/(2))．
此处之角度以度为单位．