某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R（万元）与电台广告费用x（万元）及报纸广告费用y（万元）之间的关系有如下经验公式：R=15+14x+32y-8xy-2x

Question

某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R（万元）与电台广告费用x（万元）及报纸广告费用y（万元）之间的关系有如下经验公式：R=15+14x+32y-8xy-2x²-10y²
（Ⅰ）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略．
（Ⅱ）若提供广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略．

Answer 1

（1）由

Rx′＝14−8y−4x＝0

Ry′＝32−8x−20y＝0

可得，x=(3)/(2)，y=1．
又因为A=-4，B=-8，C=-20，
AC-B²＞0，A＜0，
故当x=(3)/(2)，y=1时，R取得最大值，
从而最优广告策略为：电台广告费用(3)/(2)万元，报纸广告费用1万元．
（2）若提供广告费用为1.5万元，则问题转化为如下的条件极值问题：
在x+y=1.5的条件下，求解函数R的最大值．
令F（x，y）=R-λ（x+y-1.5）=15+14x+32y-8xy-2x²-10y²-λ（x+y-1.5），
由

Fx′＝14−8y−4x−λ＝0

Fy′＝32−8x−20y−λ＝0

Fλ′＝x+y−1.5＝0

可得，x=(1)/(2)，y=1．
故当x=(1)/(2)，y=1时，R取得最大值，
即最优广告策略为：电台广告费用(1)/(2)万元，报纸广告费用1万元．