有甲乙两种商品,经营这两种商品所得的利润依次为M万元和N万元,它们与投入资金x万元的关系可由经验公式给出：M=（1/4）x,N=3/4根号（x-1）,今有8万元资金投入经营甲乙两种商品,且乙商品至

Question

有甲乙两种商品,经营这两种商品所得的利润依次为M万元和N万元,
它们与投入资金x万元的关系可由经验公式给出：M=（1/4）x,N=3/4根号（x-1）,今有8万元资金投入经营甲乙两种商品,且乙商品至少要求投资1万元,为获得最大利润,对甲乙两种商品的资金投入分配应是多少?共能获得多大利润?

Answer 1

本题是利用换元法求二次函数的最值.
设对乙商品投资 x 万元,对甲商品投资(8-x) 万元,总利润为 y 万元.
y= (1/4)(8-x) + 3/4√(x-1) (x≥1),
令 √(x-1)=t,则 x=1+t²,8-x=7-t² (t≥0),
y=(1/4)(7-t²) + (3/4)t
=(-1/4)[ (t-3/2)² - 37/4 ]
=(-1/4)(t-3/2)² + 37/16
当 t=3/2 时,y有最大值为 37/16 ,此时,x= 13/4 ,8-x = 19/4 ,
所以,为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入应分别为（19/4）万元和（13/4）万元,获得总利润为（37/16）万元.