设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足PF1•PF2=0，则4e12+e22的最小值为（）A.3B.92C.4D.53

Question

设e₁，e₂分别为具有公共焦点F₁与F₂的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足

PF1

•

PF2

=0，则4e₁²+e₂²的最小值为（　　）
A. 3
B. (9)/(2)
C. 4
D. (5)/(3)

Answer 1

由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令P在双曲线的右支上
由双曲线的定义|PF₁|-|PF₂|=2m  ①
由椭圆的定义|PF₁|+|PF₂|=2a  ②
又

PF1

•

PF2

=0，∴∠F₁PF₂=90°，故|PF₁|²+|PF₂|²=4c²   ③
①²+②²得|PF₁|²+|PF₂|²=2a²+2m²④
将④代入③得a²+m²=2c²，
∴4e₁²+e₂²=(4c2)/(a2)+(c2)/(m2)=(5)/(2)+(2m2)/(a2)+(a2)/(2m2)≥(5)/(2)+2√((2m2)/(a2)•(a2)/(2m2))=(9)/(2)
故选B．