已知椭圆C1：x2a21+y2b12=1（a1>0，b2>0）与双曲线C2：：x2a22-y2b22=1（a1>0，b2>0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，e1，e2又分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF2，则4e12+e22的最小值（

Question

已知椭圆C₁：

(x2)/(a21)+(y2)/(b12)=1（a₁>0，b₂>0）与双曲线C₂：：(x2)/(a22)-(y2)/(b22)=1（a₁>0，b₂>0）有相同的焦点F₁，F₂，点P是两曲线的一个公共点，e₁，e₂又分别是两曲线的离心率，若PF₁⊥PF₂，则4e₁²+e₂²的最小值（　　）

A.

(5)/(2)

B. 4

C.

(9)/(2)

D. 9

Answer 1

由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a₁，双曲线实轴为2a₂，
令P在双曲线的右支上，
由双曲线的定义|PF₁|-|PF₂|=2a₂，①
由椭圆定义|PF₁|+|PF₂|=2a₁，②
又∵PF₁⊥PF₂，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=4c²，③
①²+②²，得|PF₁|²+|PF₂|²=2a₁²+2a₂²，④
将④代入③，得a₁²+a₂²=2c²，
∴4e₁²+e₂²=(4c2)/(a12)+(c2)/(a22)=(5)/(2)+(2a22)/(a12)+(a12)/(2a22)≥(5)/(2)+2=(9)/(2)．
故选：C．