（2008•海淀区一模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=1，点D是A1C的中点．（I）求A1B1与AC所成的角的大小；（II）求证：BD⊥平面AB1C；（III）求二面角C-AB1-B的大小．

Question

（2008•海淀区一模）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=1，点D是A₁C的中点．
（I）求A₁B₁与AC所成的角的大小；
（II）求证：BD⊥平面AB₁C；
（III）求二面角C-AB₁-B的大小．

Answer 1

法一：（I）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁∥AB．
∴∠BAC是A₁B₁与AC所成的角．（2分）
在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=45°．（3分）
∴A₁B₁与AC所成角为45°．（4分）

（II）取AC中点E，连接DE，BE，∵D是A₁C的中点，则DE∥AA₁．
∵AA₁⊥平面ABC，∴DE⊥平面ABC．
则BE是BD在平面ABC内的射影．（6分）
∵AB=BC，∴BE⊥AC．∴BD⊥AC．（7分）
同理可证BD⊥B₁C．（8分）
又AC∩B₁C=C，∴BD⊥平面AB₁C．（9分）
（III）取AB₁中点F，连接CF，BF，（10分）
AB=BB₁，∴BF⊥AB₁∵AC＝B1C＝√(2)，∴CF⊥AB₁．
则∠BFC为二面角C-AB₁-B的平面角．（12分）
在Rt△BFC中，BF＝(√(2))/(2)，BC＝1，∠FBC＝90°，
则tanBFC＝√(2)．（13分）
∴∠BFC=arctan√(2)．（14分）
即二面角C-AB₁-B的大小为arctan√(2)．

法二：（I）同法一．
（II）建立空间直角坐标系B-xyz，如图，
则B（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B₁（0，0，1），A₁（1，0，1），D（(1)/(2)，(1)/(2)，(1)/(2))．（6分）
则

BD

＝((1)/(2)，(1)/(2)，(1)/(2))，

AC

＝(−1，1，0)，

AB1

＝(−1，0，1)．∴

BD

•

AC

＝0，

BD

•

AB1

＝0．（8分）
∴BD⊥AC，BD⊥AB₁，且AC∩AB₁=A．∴BD⊥平面AB₁C．（9分）

（III）∵BC⊥BB₁，BC⊥AB，AB∩BB₁=B，∴BC⊥平面ABB₁．
∴

BC

＝(0，1，0)是平面ABB₁的法向量．（11分）
由（II）可知

BD

＝((1)/(2)，(1)/(2)，(1)/(2))是平面AB₁C的法向量．
cos＜

BC

，

BD

＞＝(BC•BD)/(|BC||BD|)＝((1)/(2))/((√(3))/(2))＝(√(3))/(3)．（13分）
即二面角C-AB₁-B的大小为arccos(√(3))/(3)．（14分）