（2008•丰台区一模）已知如图（1），正三角形ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边上的点，且满足CECA＝CFCB＝k，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如图（2）．（Ⅰ）试判断

Question

（2008•丰台区一模）已知如图（1），正三角形ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边上的点，且满足(CE)/(CA)＝(CF)/(CB)＝k，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如图（2）．
（Ⅰ）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的大小；
（Ⅲ）若异面直线AB与DE所成角的余弦值为(√(2))/(4)，求k的值．

Answer 1

（Ⅰ）AB∥平面DEF．在△ABC中，
∵E、F分别是AC、BC上的点，且满足(CE)/(CA)＝(CF)/(CB)＝k，
∴AB∥EF．
∵AB⊄平面DEF，EF⊆平面DEF，∴AB∥平面DEF

（Ⅱ）过D点作DG⊥AC于G，连接BG，
∵AD⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角．
∴∠ADB=90°，即BD⊥AD．
∴BD⊥平面ADC．∴BD⊥AC．
∴AC⊥平面BGD．∴BG⊥AC．
∴∠BGD是二面角B-AC-D的平面角．
在ADC中，AD=a，DC=√(3)a，AC=2a，
∴DG＝(AD•DC)/(AC)＝(√(3)a2)/(2a)＝(√(3)a)/(2)．
在Rt△BDG中，tan∠BGD＝(BD)/(DG)＝(2√(3))/(3)．
∴∠BGD＝arctan(2√(3))/(3)．
即二面角B-AC-D的大小为arctan(2√(3))/(3)．

（Ⅲ）∵AB∥EF，∴∠DEF（或其补角）是异面直线AB与DE所成的角．
∵

作业帮用户 2017-10-27