如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PA=PD=AD且侧面PAD⊥底面ABCD，若E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）在线段PB上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PA=PD=AD且侧面PAD⊥底面ABCD，若E、F分别为PC、BD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD； 
（Ⅱ）在线段PB上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角，若存在，求出BM的长，若不存在，请说明理由？

Answer 1

（Ⅰ）证明：ABCD为正方形，
连结AC∩BD=F，F为AC中点，E为PC中点，
∴在△CPA中EF∥PA，且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
（Ⅱ）假设在线段PB上是存在点M，
使得二面角A-MC-B为直二面角．
在四棱锥P-ABCD中，
∵底面ABCD是边长为a的正方形，
PA=PD=AD且侧面PAD⊥底面ABCD，F为BD的中点．
∴以AD的中点O为原点，以OA为x轴，以OF为y轴，
以OP为z轴，建立空间直角坐标系，
设PA=PD=AD=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），
C（-1，2，0），P（0，0，√(3)），
设M（a，b，c），

BM

=t

MP

，
则

BM

＝(a−1，b−2，c)，

MP

=（-a，-b，√(3)−c），
∵

BM

=t

MP

，∴