高二数学问题过三棱柱任意两个顶点的直线共15条,其中异面直线有多少条?（是排列组合问题）更正一下，问的是有多少“对”，不是“条”

Question

高二数学问题
过三棱柱任意两个顶点的直线共15条,其中异面直线有多少条?
（是排列组合问题）
更正一下，问的是有多少“对”，不是“条”

Answer 1

大家知道一个三棱锥可以确定3对异面直线,一个三棱柱可以组成 －3=12个三棱锥,故共有36对异面直线.故选D.
点评：利用熟知的立体图形来灵活转化,是处理异面直线配对的常用方法.其实此题也可分类讨论.把过三棱柱任意两个顶点的直线分为三类：底面棱、侧面棱、侧面对角线,其中
⑴.同类中异面的对数分别为：底面棱与底面棱有2×3=6对,三条侧面棱是平行直线,不异面,侧面对角线与侧面对角线有2×6× =6对.
⑵.每两类之间异面的对数分别为：底面棱与侧面棱有1×6=6对,底面棱与侧面对角线有2×6=12对,侧面棱与侧面对角线有2×3=6对.
故共有36对,选D.许多学生面对此题生猜乱算,缺乏头绪,缺乏分类讨论的思想.