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已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数).(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M
题目详情
已知曲线C 1 :
(t为参数),C 2 :
(θ为参数).
(1)化C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若C 1 上的点P对应的参数为t=
,Q为C 2 上的动点,求PQ中点M到直线C 1 :
(t为参数)距离的最小值.


(1)化C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若C 1 上的点P对应的参数为t=


▼优质解答
答案和解析
分析:
(1)分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程,即可得到曲线C1表示一个圆;曲线C2表示一个椭圆;(2)把t的值代入曲线C1的参数方程得点P的坐标,然后把直线的参数方程化为普通方程,根据曲线C2的参数方程设出Q的坐标,利用中点坐标公式表示出M的坐标,利用点到直线的距离公式表示出M到已知直线的距离,利用两角差的正弦函数公式化简后,利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值.
(1)把曲线C1:(t为参数)化为普通方程得:(x+4)2+(y-3)2=1,所以此曲线表示的曲线为圆心(-4,3),半径1的圆;把C2:(θ为参数)化为普通方程得:+=1,所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴为8,短半轴为3的椭圆;(2)把t=代入到曲线C1的参数方程得:P(-4,4),把直线C3:(t为参数)化为普通方程得:x-2y-7=0,设Q的坐标为Q(8cosθ,3sinθ),故M(-2+4cosθ,2+sinθ)所以M到直线的距离d==,(其中sinα=,cosα=)从而当cosθ=,sinθ=-时,d取得最小值.
点评:
此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题,灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值,是一道综合题.
分析:
(1)分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程,即可得到曲线C1表示一个圆;曲线C2表示一个椭圆;(2)把t的值代入曲线C1的参数方程得点P的坐标,然后把直线的参数方程化为普通方程,根据曲线C2的参数方程设出Q的坐标,利用中点坐标公式表示出M的坐标,利用点到直线的距离公式表示出M到已知直线的距离,利用两角差的正弦函数公式化简后,利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值.
(1)把曲线C1:(t为参数)化为普通方程得:(x+4)2+(y-3)2=1,所以此曲线表示的曲线为圆心(-4,3),半径1的圆;把C2:(θ为参数)化为普通方程得:+=1,所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴为8,短半轴为3的椭圆;(2)把t=代入到曲线C1的参数方程得:P(-4,4),把直线C3:(t为参数)化为普通方程得:x-2y-7=0,设Q的坐标为Q(8cosθ,3sinθ),故M(-2+4cosθ,2+sinθ)所以M到直线的距离d==,(其中sinα=,cosα=)从而当cosθ=,sinθ=-时,d取得最小值.
点评:
此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题,灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值,是一道综合题.
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