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（2004•云南）某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形．乙同学：我发现边数是6时，
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（2004•云南）某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：
甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形．
乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形，如图1，△ABC是正三角形，
＝
＝
，证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形．
丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形，我想…，边数是7时，它可能也是正多边形．
（1）请你说明乙同学构造的六边形各内角相等；
（2）请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG（如图2）是正七边形；（不必写已知，求
证）
（3）根据以上探索过程，提出你的猜想．（不必证明）
甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形．
乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形，如图1，△ABC是正三角形，
 |
| AD |
 |
| BE |
 |
| CF |
丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形，我想…，边数是7时，它可能也是正多边形．
（1）请你说明乙同学构造的六边形各内角相等；
（2）请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG（如图2）是正七边形；（不必写已知，求
证）（3）根据以上探索过程，提出你的猜想．（不必证明）
▼优质解答
答案和解析
（1）由图知∠AFC对
，
∵
＝
，而∠DAF对的
＝
+
＝
+
＝
，
∴∠AFC=∠DAF．同理可证，其余各角都等于∠AFC，
故图（1）中六边形各角相等；
（2）∵∠A对
，∠B对
，
又∵∠A=∠B，
∴
＝
，
∴
＝
，
同理，
＝
＝
＝
＝
＝
＝
．
（3）猜想：当边数是奇数时（或当边数是3，5，7，9，时），
各内角相等的圆内接多边形是正多边形．
 |
| ABC |
∵
|
| CF |
|
| DA |
 |
| DEF |
 |
| DBC |
|
| FC |
|
| AD |
|
| DBC |
|
| ABC |
∴∠AFC=∠DAF．同理可证，其余各角都等于∠AFC，
故图（1）中六边形各角相等；
（2）∵∠A对
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| BEG |
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| CEA |
又∵∠A=∠B，
∴
|
| CEA |
|
| BEG |
∴
|
| BC |
|
| AG |
同理，
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| BA |
 |
| CD |
|
| EF |
|
| AG |
|
| BC |
|
| DE |
|
| FG |
（3）猜想：当边数是奇数时（或当边数是3，5，7，9，时），
各内角相等的圆内接多边形是正多边形．
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