（2009•荆州）如图①，已知两个菱形ABCD和EFGH是以坐标原点O为位似中心的位似图形（菱形ABCD与菱形EFGH的位似比为2：1），∠BAD=120°，对角线均在坐标轴上，抛物线y=13x2经过AD的中点M．（1）

Question

（2009•荆州）如图①，已知两个菱形ABCD和EFGH是以坐标原点O为位似中心的位似图形（菱形ABCD与菱形EFGH的位似比为2：1），∠BAD=120°，对角线均在坐标轴上，抛物线y=(1)/(3)x²经过AD的中点M．
（1）填空：A点坐标为，D点坐标为；
（2）操作：如图②，固定菱形ABCD，将菱形EFGH绕O点顺时针方向旋转α度角（0°＜α＜90°），并延长OE交AD于P，延长OH交CD于Q．
探究1：在旋转的过程中是否存在某一角度α，使得四边形AFEP是平行四边形？若存在，请推断出α的值；若不存在，说明理由；
探究2：设AP=x，四边形OPDQ的面积为s，求s与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围．

Answer 1

（1）由题意得
A（0，2），D（2

3

，0）．

（2）探究1：当α=60°时，四边形AFEP是平行四边形．
理由如下：
∵两菱形的位似比为2﹕1，OA=2，OD=2

3

，菱形ABCD边长为4，∠BAO=60°
∴菱形EFGH的边长EF=(1)/(2)AD=2，∠FEO=60°
∵在旋转过程中EF的长和∠FEO的大小始终不变
∴当射线OE旋转到经过M点时，P与M重合，AM=AP=2
△AOP为等边三角形，∠APO=∠AOP=60°
那么，∠APO=∠FEO=60°，则EF∥AP
又∵EF=AM=2
∴当旋转角度α=∠AOP=60°时，EF平行且等于AP
∴α=60°时，四边形AFEP为平行四边形．

探究2：过P点作PR⊥y轴于R，过Q作QT⊥x轴于T，
设TQ=y，
则：PR=AP•sin60°=(3)/(2)x，
OR=OA-AR=2-AP•cos60°=2-(1)/(2)x，
OT=OD-DT=2

3

-TQ•tan60°=2

3

-

3

y
∵它绕对称中心O旋转时∠POR=∠QOT
∴Rt△POR∽Rt△QOT
∴(PR)/(OR)＝(QT)/(OT)
∴((3)/(2)x)/(2−(1)/(2)x)＝(y)/(23−3y)，
化简得：y=(3x)/(x+2)
∴S=S_△OPD+S_△ODQ=(1)/(2)×2

3

（2-(1)/(2)x）+(1)/(2)×2

3

×(3x)/(x+2)
=2

3

-(3)/(2)x+(33x)/(x+2)．
即S与x的函数关系式为：S=2

3

-(3)/(2)x+(33x)/(x+2)．（0＜x＜4）