将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于（）A．-1B．0C．12D．1

Question

将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于（　　）

A．-1
B．0
C．(1)/(2)
D．1

Answer 1

设X_i确定下来了，则Y_i=n-X_i也确定了，X与Y应该是完全相关的，

.

x

，

.

y

表示x，y的平均数，
于是：
Yi−

.

Y

＝(n−Xi)−(n−

.

X

)＝

.

X

−Xi，
从而有：
r＝(∑[(Xi−.X)(Yi−.Y)])/(√([∑(Xi−.X)2∑(Yi−.Y)2]))＝(−∑[(Xi−.X)2])/(√([∑(Xi−.X)2∑(Xi−.X)2]))＝−1，
所以相关系数为-1．
事实上，cov（X，Y）=cov（X，n-X）=-DX，而：DY=D（n-X）=DX，
由相关系数的定义式有：
ρxy＝(cov(X，Y))/(√(DX)√(DY))＝(−DX)/(√(DX)√(DY))＝−1，
故选A．