已知PH是Rt△ABC斜边AC的垂直平分线，垂足为点H，并交直角边AB于点P，点D是PH上一点，且AD是AP与AB的比例中项，求证：△ACD是等腰直角三角形．

Question

已知PH是Rt△ABC斜边AC的垂直平分线，垂足为点H，并交直角边AB于点P，点D是PH上一点，且AD是AP与AB的比例中项，求证：△ACD是等腰直角三角形．

Answer 1

证明：∵PH是AC的垂直平分线，
∴∠AHD=90°，CD=AD，∠PHA=∠B=90°，
∵∠PAH=∠BAC，
∴△PHA∽CBA，
∴(AH)/(AB)=(AP)/(AC)，
∴AH•AC=AP•AB，
∵AD是AP与AB的比例中项，
∴AD²=AP•AB，
∴AH•AC=AD²，
∴(AD)/(AC)=(AH)/(AD)，
∵∠DAH=∠DAC，
∴△ADH∽△ACD，
∴∠ADC=∠AHD=90°，
∵CD=AD，
∴△ACD是等腰直角三角形．