三角形ABC中，AD是角平分线，AD的中垂线EF交BC的延长线于F，求证：FD是FB和FC的比例中项．

Question

三角形ABC中，AD是角平分线，AD的中垂线EF交BC的延长线于F，求证：FD是FB和FC的比例中项．

Answer 1

证明：连结AF，如图所示：
∵AD的垂直平分线交AD于E，
∴AF=FD，
∴∠1+∠2=∠4，
∵∠B+∠3=∠4，
∠2=∠3，
∴∠B=∠1，
∵∠AFB=∠CFA，
∴△ACF∽△BAF，
∴(AF)/(FB)=(FC)/(AF)，
∴AF²=FB•FC，
即FD²=FB•FC；
即FD是FB和FC的比例中项．