已知:a/b=c/d,求证ab+cd是a^+c^与b^+d^的比例中项.注：“＾”表示×××的平方.

Question

已知:a/b=c/d,求证ab+cd是a^+c^与b^+d^的比例中项.
注：“＾”表示×××的平方.

Answer 1

证明:设a/b=c/d=k
a=bk,c=dk
(ab+cd)^2=(b^2k+d^2k)^2=k^2(b^2+d^2)^2
(a^2+c^2)(b^2+d^2)=[(bk)^2+(dk)^2](b^2+d^2)
=k^2(b^2+d^2)^2
∵(ab+cd)^2=(a^2+c^2)(b^2+d^2)
∴ab+cd是a^+c^与b^+d^的比例中项