如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CE平分∠ACB交AB于点E，（1）试说明点E为线段AB的黄金分割点；（2）若AB=4，求BC的长．

Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CE平分∠ACB交AB于点E，

（1）试说明点E为线段AB的黄金分割点；
（2）若AB=4，求BC的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ACB=(1)/(2)（180°-36°）=72°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=(1)/(2)∠ACB=(1)/(2)×72°=36°，
∴∠BCE=∠A=36°，
∴AE=BC，
又∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBE，
∴(AB)/(BC)=(BC)/(BE)，
∴BC²=AB•BE，
即AE²=AB•BE，
∴E为线段AB的黄金分割点；
（2）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=72°，
∴∠BEC=180°-72°-36°=72°，
∴BC=CE，
由（1）已证AE=CE，
∴AE=CE=BC，
∴BC=(√(5)−1)/(2)•AB=(√(5)−1)/(2)×4=2√(5)-2．