（2012•思明区质检）如图，平行四边形ABCD中，AB=8，BC=10，∠B为锐角，tan∠B=43．E为线段AB上的一个动点（不包括端点），EF⊥AB，交射线BC于点G，交射线DC于点F．（1）若点G在线段BC上，求△B

Question

（2012•思明区质检）如图，平行四边形ABCD中，AB=8，BC=10，∠B为锐角，tan∠B=(4)/(3)．E为线段AB上的一个动点（不包括端点），EF⊥AB，交射线BC于点G，交射线DC于点F．
（1）若点G在线段BC上，求△BEG与△CFG的周长之和；
（2）判断在点E的运动过程中，△AED与△CGD是否会相似？如果相似，请求出BE的长；如果不相似，请说明理由．

Answer 1

（1）方法一：如图1，过点C作CH⊥AB于H，
∵C_△BEG=BE+EG+BG，C_△CFG=CF+FG+CG，
∴C_△BEG+C_△CFG=BE+CF+EF+BC；
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，EF⊥AB，
∴∠EFC=∠BEF=90°，又CH⊥AB，
∴四边形EFCH为矩形．
∴CF=EH，EF=CH；
在Rt△BHC中，BC=10，tan∠B=(4)/(3)，
可求得BH=6，CH=8，
∴EF=CH=8，BE+CF=BH=6．
∴C_△BEG+C_△CFG=6+8+10=24；
方法二：设BE=3k．
∵tan∠B＝(4)/(3)，
∴(EG)/(BE)=(4)/(3)，
∴EG=4k，BG=5k；
在平行四边形ABCD中，∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴∠BCF=∠B，CG=BC-BG=10-5k，∠EFC=∠BEF=90°．
∴在Rt△CFG中，GF=8-4k，CF=6-3k，
∴C_△BEG+C_△CFG=（BE+EG+BG）+（CF+FG+CG）=（3k+4k+5k）+（6-3k+8-4k+10-5k）
=24；

（2）①当0＜BE＜6，即点G在线段BC上时，设BE=3k，
∵tan∠B＝(4)/(3)，
∴EG=4k，BG=5k，CG=10-5k，CD=AB=8．
∵∠A=∠DCG，
∴要使△AED与△CGD相似，需满足(AE)/(CG)＝(AD)/(CD)或(AE)/(CD)＝(AD)/(CG)．
当(AE)/(CG)＝(AD)/(CD)时，(8−3k)/(10−5k)＝(10)/(8)，
解得k＝(18)/(13)，
此时，BE＝(54)/(13)，满足0＜BE＜6．
当(AE)/(CD)＝(AD)/(CG)时，(8−3k)/(8)＝(10)/(10−5k)，
解得k₁=0或  k2＝(14)/(3)…（8分）
此时，BE=0或14，不满足0＜BE＜6；
∴当 BE＝(54)/(13)时，△AED与△CGD相似．
②当BE=6，即点G与点C重合时，不存在△CGD与△AED相似．
③当6＜BE＜8，即点G在射线BC上时，如图2，
∵AB∥CD，AD∥BC，∠B是锐角
∴∠A是钝角，
又∵∠DCG=∠B，
∴∠DCG也是锐角，
∴∠A≠∠DCG．
∵∠DCB＞∠CDG，∠DCB＞∠DGC，
又∵∠A=∠DCB
∴∠A≠∠CDG，且∠A≠∠DGC，
∴当6＜BE＜8时，不存在△CGD与△AED相似．
综上所述，当BE＝(54)/(13)时，△AED与△CGD相似．