将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，3），点O（0，0）．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN丄AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′

Question

将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，3），点O（0，0）．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN丄AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′．
（1）如图①，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；
（2）如图②，当动点M运动到边AO的中点时，求点O与点A′的距离．

Answer 1

（1）∵点A（4，0），点B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=√(42+32)=5，
由折叠的性质得：AN=BN=(1)/(2)AB=2.5，∠ANM=90°=∠AOB，
∵∠NAM=∠OAB，
∴△AMN∽△ABO，
∴(AM)/(AB)=(AN)/(OA)，
即(AM)/(5)=(2.5)/(4)，
解得：AM=(25)/(8)，
∴OM=OA-AM=4-(25)/(8)=(7)/(8)，
∴M（(7)/(8)，0）；
（2）连接OA′，如图所示：
∵M是AO的中点，
∴AM=OM=2，
由（1）得：△AMN∽△ABO，
∴(AM)/(AB)=(AN)/(OA)，即(2)/(5)=(AN)/(4)，
解得：AN=(8)/(5)，
由折叠的性质得：A′N=AN=(8)/(5)，
∴A′A=(16)/(5)，MN是△OAA′的中位线，
∴MN∥OA′，∠AA′O=∠ANM=90°，
∴OA′=√(OA2-A′A2)=√(42-((16)/(5))2)=(12)/(5)．