如图，已知A(-4,0)，B(0,4)，现以A点为位似中心，相似比为9:4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C.(1)求C点坐标及直线BC的解析式；(2)一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线

Question

如图，已知A(-4,0)，B(0,4)，现以A点为位似中心，相似比为9:4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C.

(1)求C点坐标及直线BC的解析式；
(2)一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象；
(3)现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P.____

Answer 1

【分析】(1) 过C点向x轴作垂线，垂足为点D，由位似性质可得△ABO∽△ACD，从而结合相似比可得AD=CD=9，从而C点坐标可知，进而可得函数关系式；
(2)设抛物线解析式为，将B(0,4)、C(5,9)及顶点落在x轴正半轴上代入函数关系式可得方程组，解之即可；
(3)由题可得，P点应在与直线AB平行，且相距的上下两条平行直线和上，可以求得直线与y轴交点坐标为(0,10)，求得直线与y轴交点坐标为(0,-2) ，从而两直线解析式；．将其分别与二次函数关系式联立，解出x，y即为所求.

1、(1)过C点向x轴作垂线，垂足为点D，

因为△ABO∽△ACD，∴.
由A(-4,0)，B(0,4)可知：AO=4，BO=4，
∴AD=CD=9.
∴C点坐标为(5,9).
直线BC的解析是为：.
化简得y=x+4.
(2)设抛物线解析式为，
由题意得，
解得

∴解得抛物线解析式为或.
又∵的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去，
∴满足条件的抛物线解析式为.

(3)将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，设P到直线AB的距离为h，
故P点应在与直线AB平行，且相距的上下两条平行直线和上.
由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为.
如图，设与y轴交于E点，过E作EF⊥BC于F点，

在Rt△BEF中，∠EBF=∠ABO=45°.
∴BE=6.
∴直线与y轴交点坐标为(0,10).
同理可求得直线与y轴交点坐标为(0,-2).
∴两直线解析式：y=x+10；：y=x-2.
根据题意列出方程组：(1)(2)
∴解得　　　
∴满足条件的点P有四个，它们分别是，，，.

【点评】对于这类中考综合型压轴题，我们在解题时一定要步步为营，将复杂的问题逐步分解成一个个单一的、简单的小问题，从而使得解题思路变得清晰起来，如本题(2)(3)都是如此，(2)实际上就是求二次函数解析式，(3)实际上就是将两个函数关系式联立成方程组，方程组的解即为两函数图象的交点坐标.