为什么在直角三角形中有一个角为30度时这个角对应边等于斜边的一半

Question

为什么在直角三角形中有一个角为30度时这个角对应边等于斜边的一半

Answer 1

【在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半】

设在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，求证：AB=1/2BC。

【证法1】

延长BA到D，使AD=AB，连接CD。

∵∠BAC=90°，AB=AD，

∴AC垂直平分BD，

∴BC=CD（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），

∵∠B=90°-∠ACB=90°-30°=60°，

∴△BCD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），

∴BD=BC，

∵AB=AD=1/2BD，

∴AB=1/2BC。

【证法2】

取BC的中点D，连接AD。

∵∠BAC=90°，

∴AD=1/2BC=BD（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），

∵∠B=90°-∠ACB=90°-30°=60°，

∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），

∴AB=BD，

∴AB=1/2BC。