一个正方体的顶面的一个顶点与底面中心点的连线为什么垂直于底面的一条对角线?我无法用教科书上的定理或判定解释

Question

一个正方体的顶面的一个顶点与底面中心点的连线为什么垂直于底面的一条对角线?
我无法用教科书上的定理或判定解释

Answer 1

大致思路是由线面垂直推导出线线垂直.
比如：正方体ABCD-A'B'C'D'中,下底面正方形ABCD中有对角线AC.BD,交于点O,连结D'O
求证：D'O⊥AC
略证：在正方形ABCD中,易知：AC⊥BD
又DD'⊥底面ABCD,AC在平面ABCD内
所以：DD'⊥AC
这就是说AC垂直于平面BB'D'D内的两条相交直线BD.DD'
所以有线面垂直的判定定理可得：
AC⊥平面BB'D'D
又D'O在平面BB'D'D内,所以：
AC⊥D'O
命题得证.