已知△ABC中，∠ACB=90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点，PM、QN的中点分别为E、F，求证：EF∥AB．

Question

已知△ABC中，∠ACB=90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点，PM、QN的中点分别为E、F，求证：EF∥AB．

Answer 1

证明：连接CF、FH，
∵BN是∠ABC的平分线，
∴∠ABN=∠CBN，
又∵CH⊥AB，
∴∠CQN=∠BQH=90°-∠ABN=90°-∠CBN=∠CNB，
∴CQ=NC．
又F是QN的中点，
∴CF⊥QN，
∴∠CFB=90°=∠CHB，
∴C、F、H、B四点共圆．
又∠FBH=∠FBC，
∴FC=FH，
∴点F在CH的中垂线上，
同理可证，点E在CH的中垂线上，
∴EF⊥CH，
又AB⊥CH，
∴EF∥AB．