如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=12（∠C-∠B）．（3）．如图（2）若将点A在AD上移动到A´处，A´E

Question

如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．

（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．
（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=(1)/(2)（∠C-∠B）．
（3）．如图（2）若将点A在AD上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E，（2）中的结论还正确吗？为什么？

Answer 1

（1）在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-80°=50°；
∵AD是角平分线，
∴∠DAC=(1)/(2)∠BAC=25°；
在△ADC中，∠ADC=180°-∠C-∠DAC=75°；
在△ADE中，∠DAE=180°-∠ADC-AED=15°．
（2）∠DAE=180°-∠ADC-AED=180°-∠ADC-90°=90°-∠ADC=90°-（180°-∠C-∠DAC）=90°-（180°-∠C-(1)/(2)∠BAC）=90°-[180°-∠C-(1)/(2)（180°-∠B-∠C）]=(1)/(2)（∠C-∠B）．
（3）（2）中的结论仍正确．
∠A′DE=∠B+∠BAD=∠B+(1)/(2)∠BAC=∠B+(1)/(2)（180°-∠B-∠C）=90°+(1)/(2)∠B-(1)/(2)∠C；
在△DA′E中，∠DA′E=180°-∠A′ED-∠A′DE=180°-90°-（90°+(1)/(2)∠B-(1)/(2)∠C）=(1)/(2)（∠C-∠B）．