求曲线所围平面图形绕指定轴旋转的旋转体的体积：X^2+(y-5)^2=16,绕X轴.

Question

求曲线所围平面图形绕指定轴旋转的旋转体的体积：X^2+(y-5)^2=16,绕X轴.

Answer 1

求曲线X²+(y-5)²=16所围图形绕X轴旋转所得旋转体的体积.
X²+(y-5)²=16是一个园心在(0,5),半径为4的园；绕x轴旋转一周即得一园环(手躅).
y=5±√(16-x²),取旋转体的外径R=5+√(16-x²),内径r=5-√(16-x²)；于是得园环的体积：
V=【-4,4】π∫(R²-r²)dx=【-4,4】π∫{[5+√(16-x²)]²-[5-√(16-x²)]²}=【-4,4】20π∫√(16-x²)dx
=[(x/2)√(4²-x²)+(16/2)arcsin(x/4)]【-4,4】=20π[8arcsin1-8arcsin(-1)]=20π[4π+4π]=160π²