设P是大于5的素数,求证在数列1,11,111,...中有无穷多项是P的倍数.

Question

设P是大于5的素数,求证在数列1,11,111,...中有无穷多项是P的倍数.

Answer 1

用1,11,111,1111,...分别除以P,所得余数只能是0,1,2,...,P-1,共P个余数,即有限个余数,而数列1,11,111,...有无穷多项,故用P除所得余数有无穷多,则必有无穷多项的余数相同,如果有无穷多项的余数是0,命题显然成立,否则这无穷多余数相同的项其差必能被P整除,设11...1和111...1是其中余数相同的任意两个不同的项,即它们所含1的个数不同,它们的差必然是11..100..0的形式,即由连续几个1后面跟着若干个0组成,可表示为11...1*10^k,其中k是上面含有0的个数,P能整除11...1*10^k,P不等于2也不等于5,故P必能整除11...1*10^k中的11..1,无穷多余数相同的项其差也有无穷多,故这样由连续几个1构成的数能被P整除的也无穷多.