设各项均为正整数的无穷等差数列{an}，满足a54=2014，且存在正整数k，使a1，a54，ak成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为．

Question

设各项均为正整数的无穷等差数列{a_n}，满足a₅₄=2014，且存在正整数k，使a₁，a₅₄，a_k成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为______．

Answer 1

∵a₅₄=2014，∴a₁+53d=2014，
∴(a1)/(53)+d=38，d＞0，且为正整数，
∴a₁是53的倍数，
∵a₁，a₅₄，a_k成等比数列，
∴a₅₄²=a₁a_k=2×2×19×19×53×53
（1）若a₁=53，53+53d=2014，d=37，
（2）若a₁=2×53，106+53d=2014，d=36，
（3）若a₁=4×53，212+53d=2014，d=34
（4）a₁=1007，1007+53d=2014，53d=1007，d=19
∴公差d的所有可能取值之和为37+36+34+19=126．
故答案为：126．