设等差数列{an}的首项为1，公差为d（d∈N*），m为数列{an}中的项．（1）若d=3，试判断(x+1x)m的展开式中是否含有常数项，并说明理由；（2）求证：存在无穷多个d，使得对每一个m，(x+1x)m的展

Question

设等差数列{a_n}的首项为1，公差为d（d∈N^*），m为数列{a_n}中的项．
（1）若d=3，试判断(x+(1)/(√(x)))m的展开式中是否含有常数项，并说明理由；
（2）求证：存在无穷多个d，使得对每一个m，(x+(1)/(√(x)))m的展开式中均不含常数项．

Answer 1

（1）因为{a_n}是首项为1，公差为d=3的等差数列，
所以a_n=1+3（n-1）=3n-2；
假设(x+(1)/(√(x)))m的展开式中的第r+1项为常数项（r∈N），
Tr+1=

C

r m

xm-r((1)/(√(x)))r=

C

r m

xm-(3)/(2)r，
于是m=(3)/(2)r；
因为m为数列{a_n}中的项．
所以设m=3n-2（n∈N*），
则有3n-2=(3)/(2)r，
即r=2n-(4)/(3)，这与r∈N矛盾；
所以假设不成立，
即(x+(1)/(√(x)))m的展开式中不含常数项；
（2）证明：由题设知a_n=1+（n-1）d，
设m=1+（n-1）d，
由（1）知，要使对每一个m，(x+(1)/(√(x)))m的展开式中均不含常数项，
必须有对于n∈N^*，满足1+（n-1）d=(3)/(2)r中的r无自然数解，
即r=(2d)/(3)(n-1)+(2)/(3)∉N；
当d=3k（k∈N^*）时，r=2k(n-1)+(2)/(3)∉N．
故存在无穷多个d，满足对每一个m，(x+(1)/(√(x)))m的展开式中均不含常数项．