判断不定方程X^+2389Y-1457=0是否有整数解是初等数论里的题，感激不尽！

Question

判断不定方程X^+2389Y-1457=0是否有整数解
是初等数论里的题，感激不尽！

Answer 1

X^+2389Y-1457=0
方程可变形为
X^-1457=-2389Y
2389是质数,所以,借用平方剩余的概念,如果方程有整数解,即存在x,使得X^-1457能被2389整除,用勒让德符号表示即为
(1457/2389)=1；即要求1457^{(2389-1)/2}≡1 (mod 2389).
而实际上
1457^{(2389-1)/2}
≡(31*47)^1194
≡31^1194*47^1194
≡2126^199*1938^199
≡2^398*3^199*17^199*19^199*1063^199
≡690*2388*1699*2104*752
≡690*2388*1699*2104*752
≡2388
≡-1 (mod 2389)
显然,不论x取何正整数值,X^-1457均不能被2389整除,与要求矛盾.该方程一定无整数解.
这一题最麻烦的是计算那个符号,即1457^1194 被2389整除时的余数.