巨难的题,智商140一下勿近（物理）一个球质量M,竖直上抛,空气阻力为F=KV（和速度成正比,比例系数为K）,运动时间为T,求落地时的瞬时速度?

Question

巨难的题,智商140一下勿近（物理）
一个球质量M,竖直上抛,空气阻力为F=KV（和速度成正比,比例系数为K）,运动时间为T,求落地时的瞬时速度?

Answer 1

还是那么求,这里给出落地时运动时间为T反而有点复杂
一步步算,标定向下为正方向,阻力方向总是与速度方向相反于是F合=Mg-kV
a=g-kV/M,这个方程很讨厌,进行微分得a'=-ka/M,即da/dt=-ka/M,分离变量两边求积分得a=C1e^(-kt/m),积分得v=C1(-m/k)e^(-kt/m)+C2,再积分得S=C1（（-m/k）^2）e^(-kt/m)+C2t+C3
现在我们该代入边界条件了,t=0时S=0,t=T时S=0,t=+∞时我们虽然不知道S但是知道V必然趋于一个定值,利用稳定条件F合=0解出V∞=Mg/k,代入,这样我们得到了一个3元一次方程组,方程数目有3个,可以解出C1,C2,C3,于是V关于时间的函数求出来了
再代入T进行计算
我算出来是V=(-T/(e^(-kT/m)-1))e^(-kt/m)+mg/k
代入t=T得落地速度,这个形式还是很优美的