关于函数的证明题如何证明满足x(m-n)=x(n)x(m)并且x(-m)=x^(m)的函数一定是形如x(t)=e的jnt次方的函数!其中x^(m)表示x(m)的复共轭,n表示任意常数,j表示复数中的虚数.x(t)是非0函数,注意“^”表示复共

Question

关于函数的证明题
如何证明满足x(m-n)=x(n)x(m)并且x(-m)=x^(m)的函数一定是形如x(t)=e的jnt次方的函数!其中x^(m)表示x(m)的复共轭,n表示任意常数,j表示复数中的虚数.
x(t)是非0函数,注意“^”表示复共轭,不是表示次方

Answer 1

x(m-n)=x(n)x(m)并且x(-m)=x^(m)
令 m = n = 0,
x(0)= [x(0)]^2 ,x(0)[x(0) - 1] = 0,
x(0) = 0,或者,x(0) = 1.
显然,无论x(0)=0,或者1,都满足,x(-0)= x(0)= x^(0)的要求.
若x(0) = 0,则
x(m) = x(m-0) = x(0)x(m) = 0.
与x(t)是非零函数矛盾.
因此,只有x(0) = 1.
以下讨论x(0) = 1的情形.
当 x(0) = 1时,
对于任意数t,都有,
1 = x(0) = x(t-t) = x(t)x(t) = [x(t)]^2,
x(t) = 1,或者x(t) = -1.
所以,有
x(t/2) = 1,或者,x(t/2) = -1.
无论如何,x(t/2)不等于0.
又,
x(t/2) = x(t-t/2) = x(t/2)x(t),x(t/2)不等于0.
因此,只有,
x(t) = 1.
所以,满足题意的函数是,
x(t) = 1 = e^(j2nPI).
命题成立.