（2012•郴州）阅读下列材料：我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，而y=kx+b经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：Ax+By+C=0（A、B、C是常数，且A、B不同时为0）．如图1，点P（

Question

（2012•郴州）阅读下列材料：
    我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，而y=kx+b经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：Ax+By+C=0（A、B、C是常数，且A、B不同时为0）．如图1，点P（m，n）到直线l：Ax+By+C=0的距离（d）计算公式是：d=(|A×m+B×n+C|)/(√(A2+B2))．

    例：求点P（1，2）到直线y=(5)/(12)x-(1)/(6)的距离d时，先将y=(5)/(12)x−(1)/(6)化为5x-12y-2=0，再由上述距离公式求得d=(|5×1+(−12)×2+(−2)|)/(√(52+(−12)2))=(21)/(13)．
    解答下列问题：
    如图2，已知直线y=-(4)/(3)x−4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=x²-4x+5上的一点M（3，2）．
    （1）求点M到直线AB的距离．
    （2）抛物线上是否存在点P，使得△PAB的面积最小？若存在，求出点P的坐标及△PAB面积的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）将直线AB变为：4x+3y+12=0，
又M（3，2），
则点M到直线AB的距离d=(|12+6+12|)/(√(42+32))=6；

（2）假设抛物线上存在点P，使得△PAB的面积最小，设P坐标为（a，a²-4a+5），
∵y=3a²-8a+27中，△=64-12×27=-260＜0，
∴y=3a²-8a+27中函数值恒大于0，
∴点M到直线AB的距离d=(|4a+3(a2−4a+5)+12|)/(√(42+32))=(3a2−8a+27)/(5)，
又函数y=3a²-8a+27，当a=(4)/(3)时，y_min=(65)/(3)，
∴d_min=((65)/(3))/(5)=(13)/(3)，此时P坐标为（(4)/(3)，(13)/(9)）；
又y=-(4)/(3)x-4，令x=0求出y=-4，令y=0求出x=-3，
∴OA=3，OB=4，
∴在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB=√(32+42)=5，
∴S_△PAB的最小值为(1)/(2)×5×(13)/(3)=(65)/(6)．