设a>b>0,比较三次根号下a三次方+b三次方与根号下a平方+b平方的大小详细过程谢谢

Question

设a>b>0,比较三次根号下a三次方+b三次方与根号下a平方+b平方的大小
详细过程谢谢

Answer 1

题目可能是要求比较(a^3+b^3)^(1/3)与(a^2+b^2)^(1/2)的大小,表达式不规范,易使人误解.

可按下面的方法判定两者大小：
令 U=(a^3+b^3)^(1/3)/(a^2+b^2)^(1/2),
则 U^6=(a^3+b^3)^2/(a^2+b^2)^3；
由上式可看出,要判断U值是否大于1,只需比较右端式子中的分子与分母相对大小；
令 V＝(a^3+b^3)^2-(a^2+b^2)^3；
则 V＝2a^3b^3-3a^4b^2-3a^2b^4=a^2b^2(2ab-3a^2-3b^2)=a^2b^2[(2ab-3(a^2+b^2)]；
因为 a>b>1,所以a^2+b^2>2ab；
因而 V