高次多项式怎么求根的个数?比如,2x^4+4x^3-6x^2+15x-12=0有多少个根?

Question

高次多项式怎么求根的个数?
比如,2x^4+4x^3-6x^2+15x-12=0有多少个根?

Answer 1

对于一个一般的高次方程,如果它的次数高于五次,那么很遗憾,由于著名的阿贝尔定理,除了特殊情况之外这个方程的解的情况是不能轻易判断的,因为这些解根本就不能用基本的数学符号表示出来.
特殊的,对于你所写出的一类四次的多项式,还是有一个通用的方法来解决它的,通常被称作是费拉里定理：
X^4+bX^3+cX^2+dX+e=0（请自行把方程变形到这一步）,
此方程的解可以被证明是以下两个一元二次方程的解（这里^表示次方）.
2X^2+(b+M)X+2(y+N/M)=0；
2X^2+(b—M)X+2(y—N/M)=0.
其中
M=√（8y+b^2—4c）；N=by—d,（M≠0）.
y是一元三次方程
8y^3—4cy^2—（8e—2bd)y—e(b^2—4c）—d^2=0的任一实根.
进一步,让我们对以上的三元一次方程进行解的情况判定（由于你要的是解的个数而不是求解,这里不写出复杂的求根公式）
对于一个一般的一元三次方程X^3+pX+q=0 (p、q∈R)
判别式Δ=(q/2）^2+(p/3）^3
当判别式大于零时,有一个实根和两个共轭复根（希望你有复数的知识）；
等于零时,有三个实根：其中p q均为零时,三个根相等且都为零,p q均不为零时,三个实根中有两个相等；
判别式小于零时,有三个不等实根.
根据以上的根的个数的判别,进而可以判断原先那个一元四次方程的解的情况.