如何用空间向量的公式求解平面到平面的距离,点到直线的距离,直线到平面的距离

Question

如何用空间向量的公式求解平面到平面的距离,点到直线的距离,直线到平面的距离

Answer 1

最基本的公式：设AB,AC是两个向量,则
|AB*AC|/|AB|（这里*表示点乘,或是内积）表示向量AC在方向AB上投影的长度
先说点到直线的距离.
在直线L上取两点A,B,设C为直线外一点,设C到AB的距离为d,CA在直线L上投影的长度为h,那么由勾股定理,h^2 + d^2 = |AC|^2,再把h = |AB*AC|/|AB| 代入即可
再说点到平面的距离,关键是要知道平面的法向量：
设平面方程为Ax + By + Cz + D = 0,则法向量n = (A,B,C)
设P为平面上的一点,Q为平面外的一点,那么Q到平面的距离就是向量PQ在法向量n方向上的投影,即|n * PQ| / |n|
对于平面到平面的距离,首先两个平面要平行才有距离（只用看法向量是不是平行就可以了）,如果两个平面平行,在其中一个平面上任取一个点,求这一点到另一个平面的距离就是两个平面的距离.
对于直线到平面的距离,首先直线与平面平行才有距离（只要平面的法向量与直线的方向向量垂直就可以了）,如果平行,在直线上任取一点,求这一点到另一个平面的距离就是直线到平面的距离.
注意到,在建立了坐标系的情况下,向量的内积、求模长、判断平行与垂直就是有公式给出的,所以以上的讨论基本解决了用空间向量求距离的问题