如图，AD为Rt△ABC斜边BC上的高，点E为DA延长线上一点，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F，交AB、AD于M、N两点．（1）若线段AM、AN的长是关于x的一元二次方程x2−2mx+n2−mn+54m2＝0的两个实数根，求证

Question

如图，AD为Rt△ABC斜边BC上的高，点E为DA延长线上一点，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F，交AB、AD于M、N两点．

（1）若线段AM、AN的长是关于x的一元二次方程x2−2mx+n2−mn+(5)/(4)m2＝0的两个实数根，求证：AM=AN；
（2）若AN=(15)/(8)，DN=(9)/(8)，求DE的长．

Answer 1

（1）证明：△＝(−2m)2−4(n2−mn+(5)/(4)m2)＝−(m−2n)2≥0
∴（m-2n）²≤0
∴m-2n=0
∴△=0
∴一元二次方程x2−2mx+n2−mn+(5)/(4)m2＝0
有两个相等的实数根
∴AM=AN；
（2）∵∠BAC=90°，AD⊥BC
∴∠ADC=∠ADB=90°，∠DAC=∠DBA
∴△ADC∽△BDA
∴(AD)/(BD)＝(DC)/(AD)
∴AD²=BD•DC
∵CF⊥BE
∴∠FCB+∠EBD=90°
∵∠E+∠EBD=90°
∴∠E=∠FCB
∵∠NDC=∠EDB=90°
∴△EBD∽△CND
∴(ED)/(CD)＝(BD)/(DN)
∴BD•DC=DN•ED
∴AD²=DN•ED
∵AN=(15)/(8)，DN=(9)/(8)
∴AD=DN+AN=3
∴3²=(9)/(8)DE
∴DE=8．