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已知关于x的方程kx2+(2k+1)x+2=0.(1)求证:无论k取任何实数时,方程总有实数根.(2)是否存在实数k使方程两根的倒数和为2?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
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已知关于x的方程kx2+(2k+1)x+2=0.
(1)求证:无论k取任何实数时,方程总有实数根.
(2)是否存在实数k使方程两根的倒数和为2?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
(1)求证:无论k取任何实数时,方程总有实数根.
(2)是否存在实数k使方程两根的倒数和为2?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)当k=0时,方程变形为x+2=0,解得x=-2;
当k≠0时,△=(2k+1)2-4•k•2=(2k-1)2,
∵(2k-1)2≥0,
∴△≥0,
∴当k≠0时,方程有实数根,
∴无论k取任何实数时,方程总有实数根;
(2)存在,
设方程两根为x1、x2,
则x1+x2=-
,x1x2=
,
∵
+
=2,即
=2,
∴
=2,即-
=2,
解得:k=-
,
故存在实数k使方程两根的倒数和为2.
当k≠0时,△=(2k+1)2-4•k•2=(2k-1)2,
∵(2k-1)2≥0,
∴△≥0,
∴当k≠0时,方程有实数根,
∴无论k取任何实数时,方程总有实数根;
(2)存在,
设方程两根为x1、x2,
则x1+x2=-
2k+1 |
k |
2 |
k |
∵
1 |
x1 |
1 |
x2 |
x1+x2 |
x1•x2 |
∴
-
| ||
|
2k+1 |
2 |
解得:k=-
5 |
2 |
故存在实数k使方程两根的倒数和为2.
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