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如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A、B的坐标分别为A(0,3)和B(5,0),连接AB。(1)现将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°,得到△COD(点A落到点C处),求经过B、C、D三点
题目详情
如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A、B的坐标分别为A(0,3)和B(5,0),连接AB。 (1)现将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°,得到△COD(点A落到点C处),求经过B、C、D三点的抛物线的解析式; (2)将(l)中抛物线向右平移两个单位长度,点B的对应点为点E,平移后的抛物线与抛物线相交于点F,P为平移后的抛物线对称轴上一个动点,连接PE、PF,当|PE-PF|取得最大值时,求点P的坐标; (3)在(2)的条件下,当点P在抛物线对称轴上运动时,是否存在点P使△EPF为直角三角形?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由。 |
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▼优质解答
答案和解析
(1)∵△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD, ∴OC=OA,OD=OB, ∵A(0,3),B(5,0), ∴C(-3,0),D(0,5), 设过B、C、D的抛物线解析式为y=a(x+3)(x-5), 把D(0,5)代人得a=- ; ∴ ; (2)由题意可知E点坐标为(7,0),平移前抛物线为 ∴向右平移2个单位长度后的抛物线为 解方程组 得 ∴F(2,5) 作点E关于对称轴x=3的对称点E′,则E′(-1,0), ∵|PE-PF|=|PE′-PF|≤E′F, ∴直线E′F与对称轴的交点P是所求的点, 设直线E′F的解析式为y=kx+b,则有2k+b=5,-k+b=0 解得k= ,b= , ∴直线E′F的解析式为y= x+ , ∴当x=3时,y= , ∴当|PE-PF|取得最大值时,P点坐标为(3, ); (3)设P(3,m),由(2)知E(7,0),(2,5), 则PE 2 =(7-3) 2 +m 2 =m 2 +16, EF′=(7-2) 2 +5 2 =50, PF′=(3-2) 2 +(m-5) 2 =m 2 -10m+26, ①若∠PEF=90°,则PE 2 +EF 2 =PF 2 , 即m 2 +16+50=m 2 -10m+26, 解得m=-4, ∴P 1 (3,-4), ②若∠PFE=90°,则PF 2 +EF 2 =PE 2 , 即m 2 -10m+26+50=m 2 +16, 解得m=6, ∴P 2 (3,6), ③若∠FPE=90°,则PF 2 +PE 2 =EF 2 即m 2 -10m+26+m 2 +16=50, 解得 ∴ 综上所述,存在点P使△EPF为直角三角形,坐标分别是P 1 (3,-4),P2(3,6), 。 |
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