如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A、B的坐标分别为A（0，3）和B（5，0），连接AB。（1）现将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△COD（点A落到点C处），求经过B、C、D三点

Question

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A、B的坐标分别为A（0，3）和B（5，0），连接AB。
（1）现将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△COD（点A落到点C处），求经过B、C、D三点的抛物线的解析式；
（2）将（l）中抛物线向右平移两个单位长度，点B的对应点为点E，平移后的抛物线与抛物线相交于点F，P为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连接PE、PF，当|PE-PF|取得最大值时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴上运动时，是否存在点P使△EPF为直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）∵△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，
∴OC=OA，OD=OB，
∵A（0，3），B（5，0），
∴C（-3，0），D（0，5），
设过B、C、D的抛物线解析式为y=a（x+3）（x-5），
把D（0，5）代人得a=- ；
∴ ；
（2）由题意可知E点坐标为（7，0），平移前抛物线为
∴向右平移2个单位长度后的抛物线为
解方程组 得
∴F（2，5）
作点E关于对称轴x=3的对称点E′，则E′（-1，0），
∵|PE-PF|=|PE′-PF|≤E′F，
∴直线E′F与对称轴的交点P是所求的点，
设直线E′F的解析式为y=kx+b，则有2k+b=5，-k+b=0
解得k= ，b= ，
∴直线E′F的解析式为y= x+ ，
∴当x=3时，y= ，
∴当|PE-PF|取得最大值时，P点坐标为（3， ）；
（3）设P（3，m），由（2）知E（7，0），（2，5），
则PE ² =（7-3） ² +m ² =m ² +16，
EF′=（7-2） ² +5 ² =50，
PF′=（3-2） ² +（m-5） ² =m ² -10m+26，
①若∠PEF=90°，则PE ² +EF ² =PF ² ，
即m ² +16+50=m ² -10m+26，
解得m=-4，
∴P ₁ （3，-4），
②若∠PFE=90°，则PF ² +EF ² =PE ² ，
即m ² -10m+26+50=m ² +16，
解得m=6，
∴P ₂ （3，6），
③若∠FPE=90°，则PF ² +PE ² =EF ²
即m ² -10m+26+m ² +16=50，
解得
∴
综上所述，存在点P使△EPF为直角三角形，坐标分别是P ₁ （3，-4），P2（3，6）， 。