求高手作答,一到变加速运动.向上抛一个球,初速度V0为100m/s.重力加速度g取10.运动中还有个拽力加速度a,a的公式为a=-0.01*V^2.其中V是它在空中变化着的速度,-0.01是一个比例系数.求：这个球达到

Question

求高手作答,一到变加速运动.
向上抛一个球,初速度V0为100m/s.重力加速度g取10.运动中还有个拽力加速度a,a的公式为 a=-0.01*V^2.其中V是它在空中变化着的速度,-0.01是一个比例系数.
求：这个球达到最高点时与地面的距离.
PS：希望高手把计算过程写出来.

Answer 1

其实,a=-0.01v²可以看成是空气阻力造成的加速度,这个加速度与重力加速度叠加,并共同作用于小球,小球的合加速度α=dv/dt=-g+a=-9.8m/s²-0.01v²,即：dv/(g+0.01v²)=-dt,两边积分得：-0.1t=arctan(0.1v/√g)/√g+C,根据题意,当t=0时,v=100,代入可求得常数C=-arctan(0.1×100÷√g)/√g,所以C≈-0.40486,g=9.8m/s²【若g=10m/s²,则可求得：C≈-0.399876,而根据秒表的计时精度,我们可以保留到3位小数,即C=-0.405】
小球到达最高点的时候,其速度v=0,此时,有：t≈-10[arctan(-0.1×0÷√g)/√g-0.405]=4.05s；即小球在上抛4.05s后速度降为零.
此时,求速度的时间积分：s=∫vdt=∫{10(√g)tan[(-0.1t-C)(√g)]}dt=10(√g)[∫tan[(-0.1t-C)(√g)]dt=100ln|cos[(-0.1t-C)(√g)]|+C’,同理,t=0的时候,s=0,代入可求得：C’≈-120.954；所以,此积分式子从t=0积分到t=4.05s可算出Hmax=-C’≈120.954m
【用计算器计算的时候,三角函数计算要调到弧度制.】