如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象交x轴于点A（-4，0）和点B，交y轴于点C（0，4）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得|PA-PC|的值最大？若存在，

Question

如图，已知二次函数y=-x²+bx+c的图象交x轴于点A（-4，0）和点B，交y轴于点C（0，4）．

（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得|PA-PC|的值最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在平面直角坐标系内，是否存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵二次函数y=-x²+bx+c的图象交x轴于点A（-4，0）和点B，交y轴于点C（0，4），
∴

-16-4b+c=0

c=4

，解得

b=-3

c=4

，
∴二次函数的表达式为y=-x²-3x+4；
（2）∵y=-x²-3x+4，
∴对称轴为x=-(3)/(2)，
∵A（-4，0），
∴B（1，0），
∵P在对称轴上，
∴PA=PB，
∴|PA-PC|=|PB-PC|≤BC，即当P、B、C三点在一条线上时|PA-PC|的值最大，
设直线BC解析式为y=kx+b，
∴

k+b=0

b=4

，解得

k=-4

b=4

，
∴直线BC解析式为y=-4x+4，
令x=-(3)/(2)可得y=-4×（-(3)/(2)）+4=10，
∴存在满足条件的点P，其坐标为（-(3)/(2)，10）；
（3）存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形，
理由：①以AB为边时，则有CQ∥AB，即点Q的纵坐标为4，
∵CQ=AB=5，且C（0，4），
∴Q（-5，4）或（5，4），
②以AB为对角线时，CQ必过线段AB中点，且被AB平分，即：AB的中点也是CQ的中点，
∵A、B中点坐标为（-(3)/(2)，0），且C（0，4），
∴Q点横坐标=2×（-(3)/(2)）-0=-3，Q点纵坐标=0-4=-4，
∴Q（-3，-4），
综合可知存在满足条件的点D，坐标为（-5，4）或（5，4）或（-3，-4）．