余弦定理|c|*2=a*2+b*2-2abcosc的推导过程

Question

余弦定理 |c|*2=a*2+b*2-2abcosc 的推导过程

Answer 1

不知道你学了向量没,否则余弦定理的证明非常简单,先看向量法证明：
如图
∵a=b-c   
∴a^2=(b-c)^2 （证明中a,b,c皆为向量,^2为平方）
拆开即a^2=b^2+c^2-2bc
再拆开,得|a|^2=|b|^2+|c|^2-2|b||c|CosA
同理可证其他.
平面几何证法：
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a
则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c
根据勾股定理可得：
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB
b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac