正余弦定理在三角形ABC中,A＞B＞C,且A=2C,A,B,C所对的边分别是a,b,c,又a,b,c成等差数列,b=4,求A、C的长.

Question

正余弦定理
在三角形ABC中,A＞B＞C,且A=2C,A,B,C所对的边分别是a,b,c,又a,b,c成等差数列,b=4,求A、C的长.

Answer 1

设a=b+x c=b-x
a/sinA =c/sinC
a/2cosCsinC=c/sinC
a/2cosC=c
cosC=a/2c=(4+x)/2(4-x)
cosC=b^2+a^2-c^2/2ba
=b^2+x^2+2xb+b^2-x^2+2xb-b^2/2b(b+x)
=b^2+4bx/2b(b+x)
=b(b+4x)/2b(b+x)
=b+4x/2(b+x)=4+4x/2(4+x) =2+2x/4+x
(4+x)/2(4-x) =2(1+x)/(4+x)
16+8x+x^2=4(4-x)(1+x)
=16-4x^2+12x
5x^2-4x=0
x=0（大边对大角a>b>c,舍去） x=0.8
所以a=4+0.8=4.8 c=4-0.8=3.2